یک روش نوین جهت محاسبه اندازه مخروط وابستگی در فضای سه بعدی برای مترجمهای موازیساز

Transcript

1 یک رش نین جهت محاسبه اندازه مخرط ابستگی در فضای سه بعدی برای مترجمهای مازیساز شبنم محجب فاطمه حقدست کیشاهی گره کامپیتر دانشگاه آزاداسالمی احد لنگرد shabam. گره ریاضی دانشگاه آزاداسالمی احد لنگرد چکیده- مخرط ابستگی در یکناختسازی فضای تکرار غیریکناخت نقش مهمی را بر عهده دارد به طری که جهت انجام یکناختسازی باا دقت باالتر می بایست اندازه آن با دقت باالیی محاسبه گردد. در حلقههای تکرار د سطحی اندازه این مخرط به راحتی قابل محاسبه است اما در فضای سه سطحی میبایست رشی مناسب جهت محاسبه آن جد داشته باشد. در این مقاله یک رش نین جهت محاسبه اندازه این مخرط در فضای سه سطحی ارائه گردیده طبق آزمایشهای انجام شده دقت رش ارائه شده بسیار باال است طریکه یکناختسازی انجام شاده بار طبق آن نسبت به سایر رشها مناسبتر بده بسیاری از ایرادهای رشهای قبلی را رفع نمده کلمات کلیدی- مترجمهای مازیساز مخرط ابستگی حلقههای تکرار یکناخت غیریکناخت.. مقدمه در مازیسازی حلقهها که طی چندین مرحله انجام میشد نام دارد در این [8-0,],4,5 مرحله ال تحلیل ابستگی انجام میگیرد. یکناخت مرحله است که عمل یکناختسازی سازی یعنی تبدیل حلقههایی با ابستگی غیریکناخت به نمنه های یکناخت. در اقع هدف در آن یافتن مجمعه بردارهای ابستگی پایه است ابستگیهای حلقه را پشش دهد شد. ال طری که تمام یا بخش قابل تجهی از سه معیار در نظر گرفته کاهش زمان اجرای کل الگریتم یکناختشده دم کاهش اندازه مخرط محدد شده به بردارهای ابستگی پایه در نهایت کاهش تعداد بردارهای ابستگی پایه. از این جا میتان 4 پی برد. به اهمیت محاسبه اندازه مخرط ابستگی اندازه مخرط ابستگی برای حلقههای د سطحی متناسب با زایه بین درترین بردارها است اما در فضای سه سطحی متناسب با حجم محصر بین کرهای به شعاع احد بردارهای ابستگی پایه برای اینکه معیار دم یعنی کمینه بدن اندازه مخرط ابستگی حاصل گردد باید بتان اندازه آن را در فضای سه سطحی محاسبه نمد طری که بسیار نزدیک به اندازه اقعی بده درجه خطای پایینی داشته باشد. برای این منظر در این مقاله یک رش نین ارائه گردیده از این رش برای یکناختسازی فضای تکرار سه سطحی با استفاده از الگریتم ژنتیک استفاده شده [6] سایر رشها بهینهتر نتایج به دست آمده از آن نسبت به باقیمانده مقاله به این صرت سازماندهی شده در بخش دم مفاهیم پایهای الزم جهت درک بهتر مسئله ارائه می گردد. در بخش سم رش پیشنهادی ارائه میشد در بخش چهارم نیز نتایج حاصل از اجرای برنامه بررسی خاهد شد.. مفاهیم پایهای در این بخش مفاهیم پایهای الزم جهت درک بهتر راهکار پیشنهادی ارائه میگردد. m.. مخرط ابستگی اندازه مخرط ابستگی برای یک الگریتم با مجمعه بردار ابستگی } d D {d, d,..., مخرط ابستگی که با CD نشان داده میشد به صرت زیر تعریف میگردد []: r r r C D { R : d d... md m,,,..., 0} m اندازه مخرط ابستگی نیز به صرت زیر تعریف میگردد: depedece aalss uformato Basc Depedece Vector Set BDVS 4 Depedec Coe Se DCS

2 d C D,... منحنی یعنی اندازه مخرط ابستگی سطح اشتراک CD... در اقع مخرط ابستگی کچکترین مخرطی است که شامل تمام بردارهای ابستگی این الگریتم باشد. همانطر که در شکل نشان داده شده در فضای د بعدی اندازه مخرط ابستگی در حقیقت متناسب با زایه مخرط شکل : مخرط ابستگی دسطحی اندازه مخرط ابستگی [] مخرط ابستگی برای سه بردار در فضای تکرار سه سطحی در شکل نشان داده شده که در آن b 0 تا b ضرایب ثابتی هستند کهه بها اسهتفاده از نقهاط منفصل به دست میآیند. رش فق برای نقطه منفصهل یهک منحنی خاهد داد اما با داشتن د نقطهه ایهن منحنهی در اقهع تبدیل به یک خط خاهد شد که برای محاسهبه انهدازه مخهرط ابستگی استفاده میشد.. راهکار پیشنهادی برای راحتی اندازه مخرط ابسهتگی در ایهن مقالهه بها تعداد بردارها با l l= نشان داده میشد. در ابتدا اندازه مخرط برای محاسبه میشد. طبق تعریهف رابطهه انهدازه مخهرط ابستگی در فضای تکرار سه سطحی برابر با حجم ناحیه محصهر بین کرهای به شعاع احد بردارهها اسهت. همانطر که در شکل نشان داده شهده بهدیهی اسهت بهرای اینکه چنین حجمی جد داشته باشد میبایست سه بهردار v v v مستقل خطی باشند چراکه در غیر ایهن صهرت سهه بردار در یک صفحه قرار گرفته میگردد. =0 شکل : تصیر قاعده هرم در صفحه شکل : مخرط ابستگی در فضای سه سطحی [6].. درنیابی هدف از درنیابی به دست آردن یک چند جملهای است کهه از نقاط منفصلی میگذرد. این چند جملههای در اقهع تقریبهی از یک تابع مانند f تغییرات کمیتی خاص در جهت است که این تابع نیز به نبه خد بیانکننهده می باشد. با تعداد نقاط بیشهتر شکل 4: بردارهای پایه قبل بعد از دران با تجه به شکلهای 4 مشخص است که اگر دستگاه مختصات تغییر یابد حجم مرد بررسی تغییری نمیکند. در ادامه این قضیه به سادگی اثبات میگردد. بنابراین برای محاسبه این حجم میتان دستگاه مختصات را به نحی تغییر داد که یکی از بردارها ری یکی از محرهای اصلی منطبق گردد. در میتان درجه چند جملهای برآرد شده را باالتر بهرد. رشههای مختلفی مثل الگرانژ نیتن درنیابی با اسهپالینهای مکعبهی غیره جد دارد [,].,7 در رش پیشنهاد شده از رش ساده نیتن استفاده شده است که به صرت زیر است: f b0 b 0 b 0... b 0...

3 A B 0 C 0, F 0, K D E 0 5 G H رابطه 6 برای شکل 5 برقرار بده هدف یافتن θ O θ B A θ D C شکل 6: دران حل مبدا در فضای د سطحی OB AB cos, s OD CD cos, s OC OC شکل برای درک بهتر تصیر قائده هرم در صفحه بعد از جابجایی نشان داده شده قبل برای دران بردارها در فضای سه بعد بهه نحهیکهه یکهی از بردارها بر محر آن بردار ری صفحه منطبق گردد باید برای هر بردار زایهه تصهیر با جهت مثبت محر نیز زایه آن بردار با جهت مثبت محر محاسبه گردد. سپس یکی از ها انتخاب میگهردد. بهرای ایهنکهه محاسهبه دران j انجام شده خطای کمتری داشته باشد بهتر اسهت کچهکتهرین از لحاظ قدرمطلق نیز مربط به آن بردار انتخاب گردد. j بعد از آن تمامی بردارها به اندازه حل محر دران مییابند. حل محهر بهه انهدازه arcta R R j, arccos cos j s j 0 s cos 0, 0 0 Z j j cos j 0 s j 0 0 s j 0 cos j ماتریس دران حل محر به انهدازه j R Z در رابطه 4 j 4 R مهاتریس دران حهل محهر بهه انهدازه اسهت. ایهن ماتریسهای دران ساعتگرد هستند. ترتیب عملیهات فهق مههم چراکه ابتدا باید هر بهردار در مهاتریس دران R آن در مهاتریس دران بعهد از R ضهرب گهردد ضهرب مهاتریسهها خاصیت جابجایی ندارد. در ادامه نحه محاسبه این ماتریسهای دران شرح داده خاهد شد. قتی یک بردار حل محر دران مییابد ملفهی سم آن بردار تغییری نمیکند فقط کافی است ملفهی ال دم بر اساس زایه دران محاسبه گردد. بنابراین فقط کافی H است پارامترهای A تا در رابطه 5 محاسبه شد. برای سادگی به جای فضای سه سطحی فضای د سطحی را در نظر بگیرید. در اقع دران حل محر در فضای سه سطحی متناسب با دران حل مبدا در فضای د سطحی برای این شکل 6 برای رابط زیر برقرار است:.... OD AB OB AB OB CD AB OB CD OD. OB AB. CD. OB OD. AB AB. CD. OB OB OD AB CD AB OD OB CD OB.. AB.. OB OD AB CD AB OD OB CD OB.. AB.. OC OC OC OC OB cos AB s OB cos AB s cos s 7 همچنین به طر مشابه رابطه 8 برقرار است: s cos 8 بر اساس رابط 7 8 میتان ماتریسی در رابطه 9 نشان داد. را به صرت cos s 9 s cos. بنابراین ماتریس دران حل محر صرت رابطه به دست میآید: در فضای سه سطحی به. cos s 0 s cos 0 0 0,,,,, A B C,,. D E F,, G H K

4 arccos arcta v R ماتریس دران نیز به رش مشابه اثبات میگردد. حال برای اینکه ثابت شد حجم مرد محاسبه قبل بعد از دران یکسان است تنها کافی است اثبات شد که زایه د به دی بردارها قبل بعد از دران یکی در اقع اگر پارامترهای بردار,, بعد از دران باشند باید رابطه برقرار باشد:,,,,,,,, اگر رابطه برای یکی از ماتریسهای دران اثبات شد برای ماتریس دران کلی که ضرب د ماتریس دران است نیز R اثبات میگردد. در اینجا برای مشابه برای نیز قابل اثبات اثبات میشد به طر R arccos,. arccos cos s, s cos,. cos s, s cos, arccos. بعد از دران حجم مرد نظر با استفاده از یک انتگرال سه گانه قابل محاسبه برای تعیین حدد انتگرال گیری بهتر است به جای مختصات دکارتی از مختصات کری استفاده شد. اما دقت میکنید که در ادامه محاسبات باید از مقادیر جدید بردارها یعنی مقادیر بعد از دران به جای مقادیر قبلی استفاده نمد. به طر کلی هر بردار,, در مختصات کری به نشان داده میشد. یادآری میشد که بعد از φ=0 صرت θ ρ, φ, انتقال برداری که ری محر منطبق گردید دارای همچنین به دلیل اینکه حجم ناحیه محصر در کره احد محاسبه میشد میتان ρ یک در نظر گرفت. بنابراین تنها محاسبه را برای هر کدام از بردارها برابر با θ برای د بردار φ دیگر در این بخش کفایت میکند که به صرت رابطه قابل محاسبه است که در آن بعد از دران برای بردار ام مقادیر در شکل 7 بردار گردیده است برای د بردار دیگر اگر بعد از دران ری محر منطبق φ φ= باشد آنگاه حجم مرد نظر حجم بخشی از مخرط φ=φ است که به صرت رابطه 4 قابل محاسبه V s d d d v v شکل 7: حدد انتگرالگیری برای محاسبه در مختصات کری v اما اگر φ φ به سمت بردار دم مقدار باشد با فرض φ φ> با حرکت از بردار ال افزایش مییابد. یعنی مخرط دهان θ θ φ گشادتر میشد. در اقع هر چه از مقدار افزایش مییابد. پس میتان به را تابعی از نزدیک میشد θ به صرت φ φ رابطه 5 نشت. f 5 شکل 8: تغییر مقدار φ با حرکت از θ به θ در رابطه 5 نمیتاند برابر با صفر باشد چراکه در این صرت شرط مستقل بدن بردارها نقض شده سه بردار در یک صفحه قرار میگیرند در نهایت حجم مرد نظر برابر با صفر Δθ خاهد بد. رابطه 5 خطی است که از د نقطه θ, φ 4

5 ب الین کنفرانس ملی مهندسی برق دانشگاه آزاد اسالمی احد لنگرد θ, φ میگذرد. در اقع یک تابع درنیاب است که به طر تقریبی نمایانگر منحنی است که از این د نقطه میگذرد. در این قسمت میتان از دیگر رشهای درنیابی که تقریبهای بهتری حتی با تعداد نقاط کم به دست میآرند همچنین درنیابیهای دیگری نظیر الگرانژ تفاضالت تقسیم شده نیتن غیره نیز استفاده کرد. اما آزمایشهای حاصل از اجرای برنامه نشان داد که همین تابع ساده تقریب خبی از حجم مرد نظر را به دست میدهد. در نهایت از طریق رابطه 6 میتان اندازه مخرط ابستگی برای بردارهای پایه با شرط آرد. l= را به دست f 0 0 V s d d d 6 رش فق تنها میتاند را برای بردارهای پایه به طل سه محاسبه نماید. برای طلهای بیشتر یا باید از رش دیگری استفاده نمد یا این رش را طری تعمیم داد که بتاند برای طلهای بزرگتر از سه نیز مرد استفاده قرار گیرد. حتی اگر تمامی بردارها در فضای محدب سه بردار در فضای سه بعد قرار گیرند باز هم میتان از این رش استفاده نمد چراکه در این حالت نیز حجم مرد نظر حجم محصر بین آن سه بردار کره احد اما مشکل اینجا است که در فضای سه سطحی در حالت کلی نمیتان گفت که همه بردارها در فضای محدب سه بردار قرار میگیرند. برای رشنتر شدن بحث به بخشهای الف ب شکل 9 دقت کنید. الف ب شکل 9: الف قرار نگرفتن ب قرار گرفتن یک بردار در فضای محدب میتان برای محاسبه سه بردار دیگر برای بردارهای پایه با <l آنها را به بخشهایی تفکیک کرد که بتان از تعمیم رش سه بردار برای محاسبه آنها بهره برد. به عنان مثال همان طرکه در شکل 9 الف نشان داده شده است حجم مرد نظر برابر است با برای مجمعه بردارهای پایه برای مجمعه بردارهای پایه {0, 0,, 0,, 0,, 0, 0} بعاله اندازه } -,, 0,, 0,,.{0, 0, به طر مشابه برای طل پنج نیز میتان آنها را به سه بخش تفکیک نمد. به طر کلی اگر برای هر بردار زنی معادل یک عدد نیز نتیجه حاصل از رش سه بردار به صرت تابع a, b, c که در آن b a c زن مربط به بردارها است در نظر گرفته شد در این صرت میتان از رش کلی رابطه 7 برای پایه برای محاسبه طلهای بیشتر بهره برد. معمال در یکناختسازی نیاز به محاسبه برای بیش از پنج بردار نخاهد بد به همین دلیل محاسبه تا پنج بردار در عمل کفایت میکند. فلا شکل : نحه محاسبه اندازه مخرط ابستگی برای <l 4 +,, =,, الف 5 4+, 4, =,, +,, ب 7 در اقع همانطر که در شکل مشخص است یک بردار به عنان بردار مبدا در نظر گرفته میشد منظر از بردار مبدا یکی از بردارها از بین بردارهای مجد است با بردار متفات در شکل این بردار همچنین بردار شماره 0, 0, 0 برای اینکه بتان از این رش استفاده کرد باید ضعیت بردارها نسبت به هم مشخص باشد. بنابراین در ادامه رشی برای رشن شدن ترتیب بردارها ارائه خاهد شد. همانطرکه پیشتر گفته شد برای حالت ری محر بردارها =l اگر یکی از منطبق نباشد میبایست تمامی بردارها دران یابند. حال که در صرت فقدان بردار منطبق ری محر الزم است تا دران انجام شد میتان برای حالت <l در صرت فقدان چنین برداری همان ابتدا این دران را برای تمامی بردارها انجام داد برداری که ری محر منطبق شده را به عنان بردار مبدا در نظر گرفت. بعد از این مرحله برای بردارهای باقیمانده باید ضعیت آن ها نسبت به هم نسبت به بردار مبدا یعنی برداری که ری محر منطبق شده مشخص گردد. برای 5

6 0,. 4. اندازه مخرط ابستگی برای سه بردار پایه 0,,0, 0 انجام این کار باید برای هر بردار زنی در نظر گرفت.wθ زنی که برای بردارها برای این منظر در نظر گرفته شده عبارت است از زایه تصیر هر بردار ری صفحه با جهت منفی بردار اما. از آنجاییکه برای د بردار ممکن است مقدار یکسانی به دست آید این زایه از بحث 60 تا 0 wθ متغیر میباشد. برای رشن شدن برای سه بردار فرضی در شکل نشان داده شده شکل : نحه تعیین ضعیت بردارها نسبت به هم نسبت به بردار مبدا حال که برای هر بردار این زن محاسبه گردیهد بردارهها بهر اساس این زن از کچک به بزرگ مرتب میگردند. بهرداری کهه ری محر زن 7 منطبق شده دارای زن سایر بردارها به ترتیهب غیره به خد میگیرند در نهایت با استفاده از رابطه محاسبه میگردد. به عنان مثهال در شهکل بردار مبهدا اسهت بردارههای بعهدی بهه ترتیهب خاهند بد. 4. ارزیابی نتایج عملی v v 4 v v اگر چه تمامی بخشههای راهکهار پیشهنهادی از طریهق رابهط ریاضی اثبات شدهاند اما برای بررسی بیشتر نتایج عملهی حاصهل از اجرای برنامه در vb.6 در د بخش ارائهه مهیشهد. بخهش ال مثالهایی جهت اثبات نزدیک بدن پاسخهای به دست آمهده بهه پاسخ اقعی بخش دم مثالهایی است کهه از آن در یکناخهت سازی استفاده شده. 4. نمنههایی جهت بررسی نزدیک بدن پاسخها به پاسخ های اقعی در این بخش به بررسی مثالهایی پرداخته میشد که پاسخ آنها از قبل مشخص با بررسی نتیجه به دست آمده با نتیجه اقعی میتان صحت رش پیشنهاد شده را هرچه بیشتر اثبات نمد.,, به صرت زیر خاهد بد: 0 0 detbdvs= , 0, 0 α =0, β =90, 0,, 0 α =90, β =90,,, α j= =0, β j=90 m α =45, β =54.75 بعد از دران طبق زایای فق بردارها به صرت زیر خاهند بد: 0, 0,, 0,, 0, -,, بردار ال ری محر منطبق گردید. حال میبایسهت طبهق رابطه د بردار دیگر به مختصات کهری برنهد سهپس از رابطه 4 حجم مرد نظر محاسبه گردد., 90, 90,, 54.75, s d d d در محاسبات به جای درجهه از رادیهان معهادل درجهه بهرای زایای به دست آمده استفاده میشهد. پهیشبینهی مهیشهد کهه مقدار به دست آمده معادل /8 / حجم کهره بهه شهعاع احد باشد که عدد به دست آمده بسیار نزدیک بهه همهان مقهدار 0,. 4. اندازه مخرط ابستگی برای سه بردار پایه 0,,0 0, 0,, 0 جهت محاسبه به صرت زیر خاهد بد: نیست چراکه بردار برای این سه بردار نیازی به دران بردارها 0, 0, خد بر محر منطبق است بنابراین به صرت مستقیم از رابطه 4 حجم مرد نظر به صرت زیر محاسبه میشد: 90 90, 90, 0,, 90, s d d d این مقدار به طر تقریبی معادل /8 حجم کره به شعاع احد. 4. نمنههای محاسبه شده در یکناختسازی حلقه- های سه سطحی با استفاده از یک رش تکاملی 6

7 نمنههای محاسبه شده آزمایشهایی اسهت کهه جههت اثبهات رش UTLEA [6] برای یکناختسازی مرد استفاده قرار گرفته است که برخی از آنها به عنهان نمنهه در جهدل خالصهه شدهاند. ردیف جدل : برخی از های محاسبه شده در رش UTLEA DCS BDVS,,, 0,, 0,, 0, 0, 0,, - 0, 0,,,,,, -,,,, - 0,, 0,, -,, 0,,, 0, 0,,, 0, 0,,,, 0, 0,,, 0, 0,,,, 0 0, 0,,,,,,, 0, 0,, 0,, -,, -, -, -, -, 0, 0,, 0,, 0 0,,,, -,,,, -,,,, -,,,, بحث نتیجهگیری نکته قابل تجه در رش پیشنهادی میزان خطای حاصل از محاسبه د حالت ممکن است اتفاق بیافتد. حالت ال زمانی است که بردار منطبق بر محر بین بردارها جد داشته باشد حالت دم زمانی است که این بردار جد نداشته باشد. در حالت ال برای محاسبه اندازه مخرط ابستگی درانی صرت نمیگیرد اما در حالت دم از آنجاییکه میبایست یک بردار ری محر منطبق گردد دران انجام میپذیرد. به عنان مثال اندازه مخرط ابستگی برای سه بردار برابر با,,,, -,,,, در اقع این سه بردار به بردارهای 0, 0,, -, -,,, 0, دران یافتهاند. درحالیکه اندازه مخرط ابستگی برای سه بردار 0, 0,, -, -,,, 0, برابر با علت این اختالف این است که از ضرب د ماتریس دران برای به دست آمدن یک ماتریس دران مثلثاتی ساعتگرد نهایی استفاده شده مقادیر مثلثاتی مقادیری بین صفر یک هستند که باعث به جد آمدن مقداری خطا در محاسبه نهایی میگردند. چن د مقدار بین صفر یک در هم ضرب میشند ضرب د ماتریس دران در هم این مقدار خطا اندکی افزایش مییابد. از طرف دیگر یکی از یژگیهای هر ماتریس دران باید این باشد که اندازه بردار بعد از دران با اندازه آن قبل از دران تغییری نکند یا تغییر آن بسته به ماتریس درانی که استفاده میشد بسیار اندک باشد. اما در این مسئله بردار از دران تبدیل به بردار,, 0, 0, بعد تبدیل شده است که اندازه آن- ها با هم برابر نیست. این به دلیل اشتباه بدن ماتریس دران نیست بلکه به این دلیل است که میبایست اندازه حجم محصر بین این سه بردار کرهای به شعاع احد خد به خد بردار همین استدالل برای r= 0, 0, به جای, 0 0, بردارهای محاسبه گردد l> قرار میگیرد. نیز صادق در نهایت طبق آزمایشهای صرت گرفته مقدار کل خطا به میزانی است که میتان از آن چشم پشی نمد. به طر کلی میتان گفت بسهیاری از رشههای ارائهه شهده جهت یکناختسازی اصال به اندازه مخهرط تهجهی نداشهتند تعدادی از آنها که ایهن مسهئله را لحهاظ کهردهانهد فقهط بهرای یکناختسازی د سطحی استفاده میشند. در نتیجه تمامی آن رشها چندان در عمهل قابهل اسهتفاده نیسهتند بیشهتر آنهها ایرادهای مشترکی دارند. در این مقاله انهدازه مخهرط ابسهتگی طری محاسبه شده که اندازه آن به اندازه اقعهی بسهیار نزدیهک است درجه خطای پایینی دارد از آن مهیتهان در رشههای مختلف یکناختسازی در فضای سه سطحی بهره برد. مراجع [] Adrokos, T., Kalathas, M., Corba, F. M., Theodoropoulos, P., Papakostatou, G., A Effcet Schedulg of Uform Depedece Loops, Departmet of Electrcal ad Computer Egeerg Natoal Techcal, Uverst of Athes, 00. [] Che, D. K., Yew, P. C., O Effectve Eecuto of No-uform DCROSS Loops, IEEE Tras. O Parallel ad Dstrbuted Sstems, 995. [] Chee, W., Kcad, D., Numercal Aalss Mathematcs of Scetfc Computg, Cole Publshg Compa, Calfora, 99. [4] Darte, A., Robert, Y., Affe-B-Statemet Schedulg of Uform Loop Nests over Parametrc Domas, J. Parallel ad Dstrbuted Computg, 995. [5] Darte, A., Robert, Y., Costructve Methods for Schedulg Uform Loop Nests, IEEE Tras. O Parallel ad Dstrbuted Sstems, 994. [6] Mahjoub, S., Lotf, S., The UTLEA: Uformato of Nouform Iterato Spaces Three-Level Perfect Nested Loops Usg a Evolutoar Algorthm, ICSECS 0, CCIS 80, Sprger, pp , 0. [7] Murph, J., Rdout, D., Mcshae, B., Numercal Aalss algorthms ad computato, Ells Harwood, New York, 995. [8] Parsa, S., Lotf, Sh., A New Geetc Algorthm for Loop Tllg, the Joural of Supercomputg, pp , 006. [9] Parsa, S., Lotf, Sh., Parallel Loop Geerato ad Schedulg, the Joural of Supercomputg, 009. [0] Parsa, S., Lotf, Sh., Wave-frot Parallelato ad Schedulg, 4th IEEE Iteratoal Coferece o Parallel Processg, pp , 007. [] Stoer, J., Bulrsch, R., Itroducto to Numercal Aalss, New York, Sprger Verlag,